ADVERTENCIA: debido a una redefinición (no oficial) de las unidades en los conceptos de almacenamiento y velocidad conexión, pueden encontrarse diferencias entre este artículo y lo expuesto, por ejemplo, en Wikipedia. Las redefiniciones todavía no se han popularizado, pero pronto las aclararemos en este artículo.

Hay conceptos claves que debemos entender antes de explicar cuál es la diferencia.

Palabras claves
bit: unidad mínima que maneja una computadora. Se trata de un uno o un cero.
byte: es un conjunto de 8 bits y representa un caracter.
bps: (bits por segundo) unidad de medida de transferencia de información.
bytes/s: (bytes por segundo) unidad de medida de transferencia de información en byte por segundo (un caracter por segundo).

Luego llegan los múltiplos, la 'k' de kilo. Aquí hay algunas confusiones, en un principio, por practicidad y rapidez de cálculo podríamos decir:
15 kbytes equivale a 15.000 bytes. Por lo tanto para pasar de una a otra se multiplica o divide por 1000 respectivamente.
Pero si queremos ser estrictos, en computación (y sólo en computación) 1 kb (kilobyte) equivale a 1024 bytes. O sea, la k equivale a 1024 y no a 1000 como en otras medidas.

1024 bits = 1 kbits (kilo bit)
1024 bps (bits por segundo) = 128 bytes/s = 0.125 kb/s (kilobyte por segundo)
1024 bytes = 1 kb (kilobytes)
1024 bytes/segundo = 1 kb/s (1 kb por segundo)
1024 kb = 1 mb (megabyte)
1024 kb/s = 1 mb/s (un megabyte por segundo)

Los proveedores de internet hablan de velocidades de bajada de 64 kbps, 128 kbps, 256 kbps, 512 kbps, 1 mega (1024 kbps), 2 megas (2049 kbps). Pero tanto en Internet Explorer como en programas de descargas y en Internet en general, se habla en kb (que es, en definitiva, lo que ocupa un archivo) y en kb/s (kbyte por segundo); por lo tanto, es interesante saber de cuánto es la velocidad de bajada expresada en kb por segundo. Esto puede traer confusión a los usuarios no expertos pues podrían pensar que bajarían 1 megabyte de información por segundo.

En principio es más conveniente saber la velocidad de descarga (y de subida) de la conexión en kb/s, pues es más fácil entenderlo. Si, por ejemplo, un archivo se está descargando a 25 kb/s, sabremos que se están descargando 25 mil caracteres del archivo por segundo (y más precisamente, 25600 caracteres)

Ahora las conversiones entre bps y bytes/s.
Como en general no necesitamos demasiada precisión, tomaremos el camino más fácil, y la 'k' corresponderá a 1000 y no a 1024.

Supongamos que tenemos una conexión de 128 kbps o 128.000 bps, así se convierte.
8 bps ------------> 1 byte/s
128.000 bps ----> X bytes/s